Известный ялтинский врач, специалист по туберкулёзу, общественный деятель. Его именем названа штангеевская тропа для оздоровительных прогулок по горам в окрестностях Ялты, часть знаменитой боткинской тропы.
С 1874 года широко применял на Южном берегу Крыма методы климатолечения. Его основные труды: «Лечение легочной чахотки в Ялте» (1885), «О лечении и режиме при чахотке» (1898).
Известный специалист по туберкулёзу. Жил в Ялте в собственном доме на улице Церковной (сейчас улица Толстого). Лечил поэта С. Я. Надсона (1862—1887), жившего неподалеку на улице Бассейной (там он и умер, похоронен в Петербурге).
Штангеев был членом городской думы, состоял в нескольких комиссиях, был членом Крымского горного клуба. Придерживался взглядов знаменитых коллег Дмитриева и Боткина о целебном климате Южнобережья. Именем Штангеева названа часть знаменитой Боткинской тропы. Вместе с Дмитриевым и Боткиным активно пропагандировал развитие ЮБК как туристического и лечебного курорта, принимал участие в создании первых противотуберкулёзных лечебных учреждений в Ялте и её окрестностях.
Известен также тем, что написал открытое письмо, в котором утверждал, что смертельный удар по нервной системе Надсона был нанесен статьей критика В. П. Буренина от 12 декабря 1886 года: «…он впал в необычайное раздражение, страшно волновался, говорил: „это уж слишком гнусно, этого оставить так нельзя“, и хотел тотчас же ехать в Петербург». К вечеру того же дня врач обнаружил тревожные признаки рецидива туберкулеза: «…кровохаркания и лихорадка, которых не было уже несколько недель». По мнению Штангеева, обострение болезни и летальный исход вследствие сильного нервного потрясения имели прецеденты в клинической практике. «Я уверен, что умерший безвременно С. Я. Надсон, несмотря на безнадежность болезни, мог бы прожить, по меньшей мере, до весны или даже осени, если бы вышеупомянутый фельетон г. Буренина не был напечатан», — заключал свою экспертизу Штангеев.
Ненамного переживший своего знаменитого пациента, Фёдор Тимофеевич умер 28 февраля 1900 года и был похоронен на бывшем Массандровском кладбище.
Портрет не сохранился
Штангеевская тропа — горная тропа в Крыму, часть Боткинской тропы. Идет от скалы Ставри-Кая к водопаду Учан-Су. Находится в Ялтинском горно-лесном природном заповеднике.