Родился в Валькуре, в канадской провинции Квебек. Джозеф-Арманд Бомбардье с самого раннего возраста интересовался механикой, и в 19 лет открыл свой гараж, где он ремонтировал и заправлял автомобили.

Зимой он разрабатывал автомобиля-снегоход, поскольку в то время в Квебеке снег со второстепенных дорог не убирали, и жители «глубинки» зимой автомобилями пользоваться не могли. Из-за одной такой нечищенной дороги Бомбардье потерял маленького сына, у которого случился перитонит, а доставить его в ближайшую больницу было невозможно. Поэтому он загорелся идеей постройки снегохода. Первые снегоходы В7 («B» — сокращение от Bombardier, а «7» — на 7 пассажиров) Бомбардье продал зимой 1936 — 1937 годов. Новый завод, способный производить более 200 автомобилей в год, был построен в 1940 году. Новая модель стала доступной в 1941 году, но началась Вторая мировая война и  спрос на снегоходы упал. Компания Bombardier предложила свой опыт канадскому правительству и начала выпускать специализированные военные снегоходы для союзников.

После войны правительство Квебека начало расчищать от снега даже на второстепенных дорогах, и  бизнес Бомбардье оказался в упадке, но он продолжала строить небольшие снегоходы в 1950-х годах и захватил рынок рекреационных снегоходов для одного или двух человек. В 1959 годк было продано почти 200 таких снегоходов; что подтвердило успешность идеи. К моменту смерти Бомбардье в 1964 году фирма работала успешно, продавая в год более 8200 снегоходов. 

Производством самолётов компания занялась в середине 1980-х  годов.