Рядовой, пулемётчик 68-го стрелкового полка (70-я стрелковая дивизия, 7-я армия), участник советско-финской войны 1939—1940 годов, Герой Советского Союза
Родился в селе Запрудье ныне Ракитнянского района Киевской области Украины в семье крестьянина. Украинец. Образование начальное. В 1929 году уехал в Донбасс, работал на шахте, с 1933 – на стеклозаводе в Чагодощенском районе Вологодской обл. В рядах РККА с 1939 года.
Участник советско-финляндской войны 1939-40 гг. 23 декабря 1939 года рядовой Высоцкий успешно отражал вражеские атаки, ведя огонь по противнику. Несмотря на ранение, не ушёл с поля боя.
Звание Героя Советского Союза Кузьме Дмитриевичу Высоцкому присвоено 15 января 1940 года.
В феврале 1940 года командир пулеметного взвода Высоцкий в бою при овладении островом Пуккионсари (остров Козлиный, Выборгский район Ленинградской области) был тяжело ранен, умер в госпитале 4 марта 1940 года. Похоронен в Санкт-Петербурге на Богословском кладбище.
Был награжден орденом Ленина.
В 1948 году в память о герое город Тронгзунд переименован в Высоцк, его именем назван также остров, на котором этот город расположен. Тронгзундский архипелах также стал называться Высоцкими островами.