Потомок дворянского рода из Льежа; его предок Жан Мартен Пирке получил дворянство в 1742 году. Его потомок поступил в 1799 году на службу в австрийскую армию, а в 1818 году получил за военные заслуги титул барона.

Клеменс Пирке окончил в 1892 году венскую частную школу Терезианум, затем изучал Инсбрукском университете теологию, а в  Лёвенском университете – философию. Решив посвятить себя медицине, учился в Вене и Кёнигсберге и, наконец, в 1900 году получил докторскую степень в университете Граца. Работал в детской больнице Святой Анны (первой в Вене). Здесь он предложил тест на наличие в организме бактерий туберкулёза, который получил название реакции Пирке. В 1907 году французский врач Манту предложил усовершенствованный тест, который в настоящее время заменил тест Пирке. 

В 1908 году отправился в США и в течение двух лет преподавал педиатрию в Университете Джонса Хопкинса. Здесь Пирке и работал над созданием первого специализированного педиатрического отделения в университетской больнице. 

Вернулся в Европу и в 1910—1911 годах преподавал в Бреслау, после чего вернулся в Вену и стал заведовать кафедрой педиатрии в клинике Венского университета. Этот пост Пирке занимал до конца жизни.

28 февраля 1929 года Пирке с женой совершили двойное самоубийство. Причиной этого предположительно стала болезнь жены.