Выходец из мелкопоместных дворян Калужской губернии. Отец Челюскина имел придворные чины стряпчего, а затем и стольника. После подавления бунта стрельцов семья оказалась в опале и потеряла большую часть владений. Прибыв летом 1714 года в Москву на смотр дворянских недорослей, Семён был зачислен в Школу математических и навигацких наук, которая располагалась в Сухаревской башне. В 1721 году он успешно закончил учёбу, затем нёс службу на кораблях Балтийского флота в должности «навигатора», ученика штурмана и подштурмана. В 1727 году уже сам обучал гардемаринов.

Челюскин участвовал в Великой Северной экспедиции В. И. Беринга (1735— 1743 годы). Перед исследователями стояла задача изучить Северный морской путь, побережье Северного Ледовитого океана, а также северо-запад Америки, Сибири и Дальний Восток. Первоначально Семён Иванович штурманом  на дубель-шлюпке «Якутск» в экспедиции, которой командовал его земляк и друг лейтенант Василий Прончищев. В сентябре 1736 года из-за болезни и смерти Прончищева принял командование кораблём и вывел его из залива Фаддея к устью реки Оленёк. В декабре 1736 года санным путём вместе с геодезистом Чекиным вернулся в Якутск. В 1738—1739 году, после ремонта «Якутска», принял участие в экспедиции Х. П. Лаптева. В 1741—1742 годах  руководил группой, занимавшейся описанием западного побережья полуострова Таймыр, устья рек Хатанги, Пясины и Енисея.  Участники похода произвели подробную съёмку и нанесли на карту всё побережье и внутреннюю часть полуострова, выявили северную оконечность Азии (которую в 1843 году назвали мыс Челюскин).

По возвращении в Петербург осенью 1742 года Челюскин получил чин мичмана и служил на Балтийском флоте. В 1746 году командовал царской яхтой «Елизавета». В 1751 году был произведён в лейтенанты, через 3 года в капитан-лейтенанты. В конце 1756 года был уволен с флота в чине капитана третьего ранга. Последние годы жил в одном из своих имений.  Место погребения С. И. Челюскина точно не установлено