Родился в Москве в еврейской семье. Сын физика, доктора технических наук Марка Ефремовича Жаботинского (1917—2003) и историка физики, популяризатора науки Анны Михайловны Ливановой, автора книг «Физики о физиках» (1968), «Три судьбы. Постижение мира» (1969), «Ландау» (1978, 1983).

В 1955 поступил в МГУ, а после окончания в аспирантуру к профессору С. Э. Шнолю. Вначале Жаботинский собирался изучать ритмическое поведение в метаболизме глюкозы, однако Шноль сообщил ему, что требуемые исходные материалы были в дефиците, и предложил заняться формулой Белоусова, с которой два предыдущих аспиранта не достигли большого успеха. В 1961 году А. М. Жаботинский исследовал механизм реакции Белоусова-Жаботинского, открытой Б. П. Белоусовым в 1951 году.

Попытки Жаботинского установить личный контакт с Белоусовым оказались безуспешными. Даже после публикации результатов работы Жаботинского и получения превосходных отзывов о ней со стороны Белоусова они так никогда не встретились лицом к лицу, несмотря на то, что работали лишь в нескольких километрах друг от друга. Жаботинский всегда подозревал, что Белоусов, который работал в секретном военном институте и в годы сталинских «чисток» потерял много друзей, просто опасался неформальных отношений.

Из-за своего еврейского происхождения, а также из-за того, что он позволял себе свободные критические высказывания на политические темы, Жаботинский был в СССР «невыездным» — ему был запрещен выезд за пределы Советского Союза. Лишь на закате перестройки ему удалось приехать в США с 10-дневным лекционным курсом. В июле 1991 профессор университета Брендайса Ирвинг Эпстайн по просьбе Жаботинского продлил его пребывание в США еще на год. После этого Жаботинский в СССР/Россию никогда уже не вернулся. В 1991—2008 годах Жаботинский работал адъюнкт-профессором университета Брандейса, штат Массачусетс.