Уроженец города Николаева. Окончив Морской кадетский корпус в Санкт-Петербурге, служил с 1843 года гардемарином на Черноморском флоте, а с 1846 года – мичманом на Балтийском флоте. В 1851 году его назначили адъютантом при генерал-губернаторе Новороссийского края. Отличился во время обороны Севастополя тем, что организовал быстрое возведение моста для перевоза через реку Днестр военных грузов.

В 1861 году, Е. В. Богданович находился в Вятской и Пермской губерниях во главе комиссии, которая организовывала борьбу с голодом, вызванным неурожаями. В своём докладе, подводящем итоги работы комиссии, Богданович настаивал на необходимости постройке железной дороги из центра страны на Урал и в Западную Сибирь, с помощью которой можно было бы предупредить голод в этих районах. В том же докладе было указано, что подобная линия, если её продолжить через Сибирь и довести до китайской границы, имела бы важное коммерческое и стратегическое значение. Таким образом, он оказался одним из первых чиновников высокого уровня, заговоривших о необходимости прокладки Транссибирской магистрали.
Долгое время наиболее вероятным маршрутом железной дороги через Сибирь был вариант её прокладки через Казань – Екатеринбург – Тюмень. Богданович в 1868 - 1869 годах руководил проведением изыскательских и планировочных работ на этом участке. Хотя в итоге было принято решение вести Транссибирскую магистраль южнее, через Миасс и Курган, проведенные под руководством Богдановича изыскательские работы предопределили значение города Екатеринбурга, как самого крупного транспортного узла в регионе, а также способствовали развитию Тюмени. В конце 1870-х годов Е. В. Богданович стал почётным гражданином семи городов, получивших своё развитие в результате проведения через них железных дорог, в том числе, Екатеринбурга, Тюмени и Камышлова. В 1885 году имя генерала Богдановича было присвоено одна из станций Тюменской железной дороги. Удивительно, что город Богданович выросший вокруг этой станции, несмотря на политические пертурбации сохранил это имя до наших дней.

По политическим взглядам Богданович был черносотенцем и ярым консерватором. Был автором брошюр, направленных на «воспитание» народа в ура-патриотическом духе.

Скончался в Ялте 14 сентября 1914 года.