Родился в еврейской семье. Его отец Мозеш Матьяш Швайгер (венг. Schweiger Mózes Mátyás) в соответствии с политикой мадьяризации уже после рождения сына сменил фамилию на Би́ро.

Решив стать продолжателем династии стоматологов поступил в медицинский институт. Потом поступил на работу в нефтяную компанию и увлёкся автогонками. Разработал автоматическую коробку передач и продал патент на неё компании General Motors.

С 1938 года жил в Париже, с 1943 года — в Аргентине.

Биро работал журналистом, а также его интересовала живопись. Когда он заметил, что чернила, использующиеся при печати газет, сохнут быстрее и не оставляют пятен, он попытался использовать эти чернила в перьевой ручке, но это у него не вышло, так как они были слишком густые. В совместной работе со своим братом – химиком Георгием (Дьёрдем), Биро придумал новый тип ручек, использующих шарик, который при движении ручки по поверхности вращался и переносил чернила на лист. Из-за несовершенства патентной системы Биро смог зарегистрировать патент на шариковую ручку только в Венгрии и Аргентине.