публичный образовательный интернет-портал

Почему теорема Ферма – великая?

04/09/2019
Чешская марка, выпущенная в честь доказательства Великой теоремы Ферма

Мир фигур и чисел, изучаемый математикой, влечёт человека не менее, чем высокая любовь. Пифагор, которого мы, скорее всего, помним из школьных уроков, даже считал, что математика стоит превыше всех чувств человека. Даже с любовью её не сравнить. Не удивительно, что человек, придумавший теорему про «пифагоровы штаны» пришёл к таким мистическим выводам. Ведь половину своей жизни он провёл в Египте, обучаясь мудрости (в том числе, и математической) у тамошних жрецов.

И обучился успешно. Сегодня теорема Пифагора – самая знаменитая математическая теорема.

Впрочем, есть еще одна знаменитая теорема, названная именем человека. Великий французский математик Пьер Ферма́ (Pierre de Fermat; 1601 —1665) сформулировал эту теорему, но не доказал её. Хотя, судя по всему, чистосердечно думал, что доказал, чем и задал всему человечеству загадку, которую оно пыталось разгадать в течение следующих 350 лет. Ну что же, эту теорему не зря назвали так: великая теорема Ферма́!

Великая теорема Ферма формулируется настолько просто и понятно, что любой школьник поймёт, что дано и что нужно доказать. Вот эта формулировка:

Для любого натурального n>2 уравнение an+bn=cn не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c.


Простота формулировки манила любого человека, знакомого с началами арифметики. Каждый думал: «Конечно же, я смогу решить такую простенькую задачку»

Так почему же три с половиной века выдающиеся математики упрямо пытались, но так и не смогли доказать эту теорему? И есть ли нам какая-нибудь польза в том, что великая теорема Ферма́, наконец, доказана?

Начнём с уже поминавшейся теоремы Пифагора. Этой теореме соответствует уравнение a2+b2=c2, где a, b и c — натуральные числа, которое имеет решения. Одно из таких решений не трудно отыскать устно: 32+42=52. Читатели могут отыскать ещё несколько решений, это не сложно.

Таким образом, существует (и не одно) натуральное число, квадрат которого можно выразить в виде суммы квадратов двух других натуральных чисел. Великая теорема Ферма́ утверждает, что не найдётся ни одного натурального числа, куб которого был бы равен сумме кубов двух других натуральных чисел. Это утверждение остаётся верным для любых других натуральных степеней: 4, 5, 6… Надо «всего лишь» доказать, что это так.

Вдохновленные простотой великой теоремы Ферма́ многие впрягались в этот неподъемный воз.

То, что воз — неподъемный, математики стали понимать довольно скоро. Но число желающих только возрастало. За более чем три столетия теорему Ферма доказали для множества частных случаев. Однако общего доказательства для всех натуральных степеней так и не было найдено. Теорема Ферма превратилась в своеобразный математический аналог вечного двигателя, который, как известно, стремились изобрести множество механиков и инженеров из числа тех, кто не знал о существовании закона сохранения энергии. Согласно которому энергия не возникает ниоткуда и никуда бесследно не пропадает, а только переходит из одной формы в другую, поэтому изобретение вечного двигателя – невозможная химера.

Но теорему Ферма, в отличие от изобретения вечного двигателя, доказать было можно и нужно. В первую очередь, самим математикам это доказательство было необходимо, потому что все утверждения в этой науке доказуемы, а недоказуемых теорем быть не может. Математика ведь наука, а не религия, где приходится верить на слово.

Другое дело, что с виду простая задачка оказалась очень сложной. Только в 1994 году великую теорему Ферма доказал английский ученый Эндрю Уайлс. За это выдающееся достижение Эндрю Уайлс в 2016 году стал лауреатом Абелевской премии, которая среди математиков столь же уважаема, как Нобелевская премия у представителей естественных наук, физики, химии и биологии.

О том, как Э. Уайлс добился победы можно прочесть в прекрасной книге английского математика и популяризатора науки Саймона Сингха «Великая теорема Ферма».

С. Сингх понятно и захватывающе рассказывает о решении великой теоремы Ферма, которая, в самом деле, оказалась очень сложной математической задачей. Именно из-за своей сложности задача эта породила в ходе попыток своего решения множество интересных разделов науки. В конечном счёте, процесс доказательства позволил математикам лучше понять, чем же, собственно говоря, являются главные объекты их науки, числа.

Книга С. Сингха в высшей степени рекомендуется тем, кто хочет проследить во всех подробностях за одним из захватывающих научных детективов за всю историю науки.

А кем же был человек, стоявший в начале всего этого удивительного поиска, занявшего 350 лет? Кто сумел вроде бы между делом, на полях читаемой книги, записать формулировку этой выдающуюся проблемы?

Пьер Ферма родился в 1601 году в Гаскони в семье богатого торговца. У отца было достаточно денег и благодаря этому Ферма смог получить образование. Он учился на юридических факультетах в университетах Орлеана, Бордо и Тулузы, и по окончании учёбы получил диплом юриста.

Юриспруденция кормила Пьера Ферма до конца жизни. С дипломом юриста он стал членом высшего королевского суда в городе Тулузе. Затем он переехал в соседний город Кастр, где занял высокую судебную должность. Здесь же, в Кастре, Пьер Ферма скончался в январе 1665 года.

Писатель Чехов говорил, что медицина — его законная жена, а литература — любовница. Точно так же и Пьер Ферма делил своё время между судебной должностью, которую он исполнял профессионально и точно, и между занятиями математикой, на которые у него хватало и ученого пыла, и времени. Будучи выдающимся ученым, Ферма, между тем, книг по математике не писал. Зато он состоял в переписке со многими выдающимися учеными того времени, например, с Рене Декартом и с Блезом Паскалем. В своих письмах Ферма излагал свои идеи и сообщал о решении различных математических задач, которые до него считались неразрешимыми. Признание, как гениальный математик, Ферма получил благодаря этим письмам. После смерти Пьера Ферма его сын собрал всю переписку отца в одну книгу и издал её. Благодаря этому труды Ферма стали известны широкой многим учёным. Тогда же математики узнали и о великой теореме Ферма.

В отличие от Галилея или Ньютона Ферма не занимался натуральной философией, то есть изучением природы. Он не интересовался философией, в отличие от Декарта и Паскаля. Его интересовала только математика. Зато здесь он добился выдающихся успехов. Ферма раньше Ньютона и Лейбница подобрался к методам дифференциального исчисления, независимо от Декарта создал аналитическую геометрию. Но его главной заслугой было создание теории чисел, которую ещё называют высшей арифметикой.

Высшая арифметика! Смешное название для тех, кто думал, что арифметика настолько проста, что ее учат только в младших классах школы. На самом же деле, решая сложные арифметические задачи, казалось бы, далёкие от реальной жизни, математики добирались до самых основ своей науки.

Строго говоря, до сих пор математики не могут дать внятного определения того, что собой представляет число. Впрочем, и физики до сих пор не могут четко сказать, как устроен мир. Однако, если физики для ответа на главный вопрос своей науки, строят могучие ускорители частиц, то математикам для этого нужны только бумага да карандаш. А, главное, умная голова на плечах.

Чешская марка, выпущенная в честь доказательства Великой теоремы Ферма

И вдогонку: А ещё мой внутренний голос говорит мне: — Вспомни теорему Ферма. А что её вспоминать? Я и не забывал эту историю. Дело в том, что когда мне было лет двадцать, я серьёзно считал, что теорема Ферма недоказуема. Это было для меня чем-то вроде вечного двигателя. В наш математический институт приходили одинаковые сумасшедшие — одни с вечными двигателями, а другие — с доказательствами теоремы. И тех и другие отличали прозрачные полиэтиленовые мешочки, в которых они таскали растрёпанные стопки чертежей и выкладок. Я их ненавидел, серьёзно думая, что теорема недоказуема. В Березин. Он говорит

Полезные ссылки:

  1. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса
  2. Роль теоремы Ферма в развитии математики
  3. С.Сингх. Великая теорема Ферма
  4. Роль теоремы Ферма в развитии математики
  5. На плечах гигантов
  6. Именем Пьера де Ферма назван один из 10 кораблей, занимающихся прокладкой подводных кабелей
  7. Короткий кинофильм «Ученый и черт»